大家好,又见面了,我是你们的朋友全栈君。
偶然在网上看到一道有意思的几何题,仔细思考了一下,确实有点趣。
原题是:平面上有任意三条平行线,使用尺规则作图画出一个等边三角形,使三角形的三个顶点分别在三条平行线上。
画法有好多种,搜集网上的一些画法,先介绍4种,再讨论一下三角形连长与平等线距离的关系,最后讨论下第二种画法的变化(三角形边长的唯一性未证明)。
第一种:
作图顺序:(颜色顺序:红—>绿—>蓝—>紫)
1.在三条直线上的中间直线上任选两点,O与A。
2.分别以O,A为圆心,OA为半径作圆,交于P,Q两点。
3.连接PA并延长,交直线L3于D;连接QA并延长,交直线L1于E。
4.于E点作EC平行于PD,交L3于C;于点D作DB平行于QE交L1于B。
5.连接AB,BC,CA。
证明:
连接DE(辅助线)//仔细观察等腰梯形,其中有全等三角形。
△CDE≌△DCB => CB=DE
△DAE≌△BEA => AB=ED
△CDA≌△EAD => AC=DE
CB=AB=AC=DE => △ABC为等边三角形
第二种:
作图顺序:(颜色顺序:红—>绿—>蓝—>紫)
1.在最上方直线上任取一点A,作垂直于L1的垂线交L2,L3分别于S,T。
2.以A点为圆心,将三条直线绕点A旋转60度,得到三条新的直线L1’,L2’,L3。(交点如上图所示)
3.以AT为中心线,作L2’的对称线交L3于点C。
4.连接AB,BC,CA。
证明:
△PQE为等边三角形(旋转三条直线60度,三个角均为60度。),△APR也为等边三角形。△ABC为△PQE的一个内接三角形。
△CPA≌△ABE≌△BCQ => CA=AB=BC => △ABC为等边三角形。
第三种:
作图顺序:(颜色顺序:红—>绿—>蓝—>紫)
1.在L3上任取一点A,作AT垂直于L3交L1,L2分别于T,S。
2.分别以S,T为圆心,ST为半径作两个圆交于D,E两点。
3.连接AD。
4.于点D作直线垂直于AD交L1,L2分别于C,B。
5.连接AB,BC,CA。
证明:略(可结合第二种方法证明)。
第四种:
作图顺序:(颜色顺序:红—>绿—>蓝—>紫—>青—>棕)
1.在直线L1上任取一点A。
2.过A点作垂直于L1的垂线交L2,L3分别于S,T。
3.作直线L4,L4为L1,L2的中位线,交AT于点D。
4.于点T作直线,交L4于点E,使∠ETA=30°。
5.连接AE并延长交L2于点B。
6.以A为圆心,AB为半径作圆,交L3于点C。
7.连接AC,CB。
证明:略(连接ES,计算AB/2=AE=ES的长度与m,n的关系,余弦定理得到AE2=2/3(m2+n2+mn),再结合第二种画法证明)。
等边三角形连长与直线距离m,n的关系。
设等边三角形边长为p,在△AEB中,通过余弦定理可以得到:p2=4/3(m2+n2+mn)。
现在开始总结一下所有画法,就是先找出这个关于m,n算式长度的一条线段,那么画图也就算结束了。
关于第二种画法的变化
可以将画等边三角形改为画等腰直角三角形。
先旋转直线,再作L2的对称线。
证明:略(一个全等三角形就证明了)。
下面看一下旋转任意角度θ,结果如何?
∠CAB=?
连接AG,根据对称与旋转产生的全等三角形得到α+β+θ=90°,从而得到∠CAB=θ。也就是说,旋转对称后得到一个顶角为θ的等腰三角形。三角形ABC腰长设为p,p2=csc2θ((m+n)2+n2-2(m+n)n*cosθ)。
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